那题似乎这样可解：

那题似乎这样可解：
回: 昨天的数学题：俺给的是表达式，今天用数值方法求了一下，结果是0.239561 -- 老蒋	回复	线索的首篇	信息区

作者: 教兽 ^®

02/19/2009, 13:27:07

首先把它变换成

sum (-1)^(k+1) [k^2/(k^3+1)]=sum (-1)^(k+1)(1/k)[1/(1+(1/k)^3)]

然后把1/(1+(1/k)^3)展开（适于k>1)：

1/(1+(1/k)^3)=1-(1/k^3)+(1/k^6)-(1/k^9)+...

所以原级数等于

(1/2)+sum_(k=2)^infty (-1)^(k+1)(1/k)-sum_(k=2)^infty (-1)^(k+1)(1/k^4)

+sum_(k=2)^infty (-1)^(k+1)(1/k^7)-...

所以只要求得 sum (-1)^(k+1)(1/k^n) 的和即可解出.

当n=1:

sum (-1)^(k+1) (x^k/k)=ln (1+x) 所以 sum (-1)^(k+1) (1/k)=ln 2

把以上等式除以x,再积分即可得sum (-1)^(k+1) (x^k/k^2)所代表的函数.

令x=1即可得sum (-1)^(k+1)(1/k^2)的和.

即 sum (-1)^(k+1)(1/k^2)=int_0^1 ln(1+x)/x dx =pi^2/12

问题是 [ln(1+x)]/x 的积分不是初等函数.